РЕШУ ЕНТ — математика

Задания

Тип 40 № 2465 Добавить в вариант

Источник: Реальная версия ЕНТ по математике 2021 года, вариант 4219. Отредактировано редакцией Решу ЕНТ в формат актуальной демоверсии

Методы геометрии: Теорема косинусов, Теорема Пифагора

Классификатор стереометрии: 3\.9\. Прямоугольный параллелепипед

Сложная стереометрия (комбинации фигур, сечения, мультивыбор). Задания для подготовки

Стороны основания прямого параллелепипеда равны 6 дм и 8 дм. Известно, что меньшая диагональ параллелепипеда равна 9 дм, а одна из диагоналей основания равна 12 дм. Найдите боковое ребро и большую диагональ прямого параллелепипеда.

1) $2 корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента$ дм

2) $3 корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента$ дм

3) 5 дм

4) 13 дм

5) 6 дм

6) 8 дм

Решение. Пусть $AC=12.$ По теореме косинусов для треугольника ABC находим

$12 в квадрате =6 в квадрате плюс 8 в квадрате минус 2 умножить на 6 умножить на 8 косинус \angle B равносильно 144=36 плюс 64 минус 96 косинус \angle B равносильно$
$равносильно 96 косинус \angle B= минус 44 равносильно косинус \angle B= минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 24 конец дроби .$ $12 в квадрате =6 в квадрате плюс 8 в квадрате минус 2 умножить на 6 умножить на 8 косинус \angle B равносильно$
$равносильно 144=36 плюс 64 минус 96 косинус \angle B равносильно$
$равносильно 96 косинус \angle B= минус 44 равносильно косинус \angle B= минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 24 конец дроби .$

Поэтому

$косинус \angle C= косинус левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle B правая круглая скобка = минус косинус \angle B= дробь: числитель: 11, знаменатель: 24 конец дроби$

и по теореме косинусов для треугольника BCD получаем

$BD в квадрате =6 в квадрате плюс 8 в квадрате минус 2 умножить на 6 умножить на 8 умножить на дробь: числитель: 11, знаменатель: 24 конец дроби =100 минус 96 умножить на дробь: числитель: 11, знаменатель: 24 конец дроби =100 минус 44=56.$

Итак, $BD= корень из: начало аргумента: 56 конец аргумента .$

Ясно, что $AC_1 больше AC=12,$ поэтому $AC_1 не равно 9.$ Значит, $BD_1=9,$ откуда

$DD_1 в квадрате плюс DB в квадрате =BD_1 в квадрате равносильно DD_1 в квадрате плюс 56=81 равносильно DD_1 в квадрате =25 равносильно DD_1=5$

$AC_1= корень из: начало аргумента: AC в квадрате плюс CC_1 в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 12 в квадрате плюс 5 в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 144 плюс 25 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 169 конец аргумента =13.$

Правильные ответы указаны под номерами 3 и 4.

Ответ: 34

2465

Методы геометрии: Теорема косинусов, Теорема Пифагора

Классификатор стереометрии: 3\.9\. Прямоугольный параллелепипед

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2465	34