Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д40 A40 № 2025
i

К окруж­но­сти про­ве­де­на се­ку­щая CA. Тре­уголь­ник BOE рав­но­сто­рон­ний, CA = 12. Длина ка­са­тель­ной CE равна

1) 4 ко­рень из 2
2) 3 ко­рень из 5
3) 6
4) 4 ко­рень из 3
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

В тре­уголь­ни­ке OCE имеем \angle OEC=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка (ка­са­тель­ная пер­пен­ди­ку­ляр­на ра­ди­у­су) и \angle COE=\angle BOE=60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка (как угол рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка). Зна­чит,

OC= дробь: чис­ли­тель: OE, зна­ме­на­тель: ко­си­нус 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: OE, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби =2OE, BC=OC минус OB=2OE минус OE=OE.

Тогда

12=AC=AO плюс OC=OE плюс 2OE=3OE,

от­ку­да OE=4, OC=2OE=8 и по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

CE= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: OC в квад­ра­те минус OE в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 в квад­ра­те минус 4 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 64 минус 16 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 48 конец ар­гу­мен­та =4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Источник: Ре­аль­ная вер­сия ЕНТ по ма­те­ма­ти­ке 2021 года, ва­ри­ант 4120. От­ре­дак­ти­ро­ва­но ре­дак­ци­ей Решу ЕНТ в фор­мат ак­ту­аль­ной де­мо­вер­сии
Методы геометрии: Свой­ства ка­са­тель­ных, хорд, се­ку­щих, Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор планиметрии: 3\.2\. Окруж­ность и свя­зан­ные с ней от­рез­ки
Спрятать решение · Помощь