РЕШУ ЕНТ — математика

Задания

Тип 40 № 4017 Добавить в вариант

Источник: Демонстрационная версия ЕНТ−2023 по математике. Вариант 3

Методы геометрии: Метод координат

Классификатор стереометрии: 1\.5\. Угол между прямыми

Сложная стереометрия (комбинации фигур, сечения, мультивыбор). Задания для подготовки

Дан единичный куб ABCDA₁B₁C₁D₁ . Найдите угол между прямой AB₁ и прямой BC₁.

1) $дробь: числитель: 180 градусов , знаменатель: 3 конец дроби$

2) 60°

3) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби$

4) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби$

5) 90°

6) 30°

Решение. Введем декартову систему координат с началом в точке B. Выпишем координаты нужных точек: A(0; 0; 1), B₁(0; 1; 0), B(0; 0; 0), C₁(1; 1; 0). Найдем координаты вектора $\overrightarrowAB_1:$ $\overrightarrowAB_1 = левая круглая скобка 0 минус 0; 1 минус 0; 0 минус 1 правая круглая скобка равносильно \overrightarrowAB_1 = левая круглая скобка 0; 1; минус 1 правая круглая скобка .$ Найдем координаты вектора $\overrightarrowBC_1:$ $\overrightarrowBC_1 = левая круглая скобка 1 минус 0; 1 минус 0; 0 минус 0 правая круглая скобка равносильно \overrightarrowBC_1 = левая круглая скобка 1; 1; 0 правая круглая скобка .$ Найдем длину вектора $\overrightarrowAB_1:$ $| \overrightarrowAB_1| = корень из: начало аргумента: 0 в квадрате плюс 1 в квадрате плюс левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента = корень из 2 .$ Найдем длину вектора $|\overrightarrowBC_1| = корень из: начало аргумента: 1 в квадрате плюс 1 в квадрате плюс 0 в квадрате конец аргумента = корень из 2 .$ Имеем:

$косинус \widehatAB_1, BC_1 = дробь: числитель: \overrightarrowAB_1 умножить на \overrightarrowBC_1, знаменатель: |\overrightarrowAB_1| умножить на |\overrightarrowBC_1| конец дроби = дробь: числитель: 0 умножить на 1 плюс 1 умножить на 1 плюс левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка умножить на 0, знаменатель: корень из 2 умножить на корень из 2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Таким образом, угол между прямой AB₁ и прямой BC₁ равен $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби$ или 60°.

Правильные ответы указаны под номерами 1, 2 и 4.

Ответ: 124

4017

124

Источник: Демонстрационная версия ЕНТ−2023 по математике. Вариант 3

Методы геометрии: Метод координат

Классификатор стереометрии: 1\.5\. Угол между прямыми

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	4017	124