РЕШУ ЕНТ — математика

Задания

Тип Д17 A17 № 482 Добавить в вариант

Источник: Реальная версия ЕНТ по математике 2021 года. Вариант 4221

Задания реальной версии ЕНТ 2021 года на позиции 17

В трапецию, у которой нижнее основание в два раза больше верхнего и боковая сторона равна 9, вписана в окружность. Радиус окружности равен:

1) 3

2) $корень из 7$

3) $2 корень из 3$

4) 2

5) $3 корень из 2$

Решение. У любого описанного четырехугольника суммы противоположных сторон равны. Пусть верхнее основание трапеции имеет длину x, а нижнее 2x, тогда

$x плюс 2x=9 плюс 9 равносильно 3x=18 равносильно x=6.$

Опустим из B и C — вершин меньшего основания — перпендикуляры BH и CK на AD (см. рисунок). Тогда

$AH=KD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка AD минус BC правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 6=3$

и по теореме Пифагора для треугольника ABH получаем

$BH= корень из: начало аргумента: AB в квадрате минус AH в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 81 минус 9 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 72 конец аргумента =6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Значит, расстояние между основаниями трапеции равно $6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ С другой стороны, один из диаметров вписанной окружности тоже представляет собой такое расстояние. Значит, радиус окружности равен $3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Правильный ответ указан под номером 5.

Ответ: 5

482

Источник: Реальная версия ЕНТ по математике 2021 года. Вариант 4221

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	482	5