ЕНТ–2025: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 20 № 8015 Добавить в вариант

Источник: Демонстрационная версия ЕНТ−2024 по математике. Вариант 1

Классификатор алгебры: 9\.7\. Задачи на прогрессии

Прогрессии и последовательности. Задания для подготовки

Сумма первых трех членов арифметической прогрессии равна 27, а сумма последних трех членов данной прогрессии равна 45. Сколько членов в заданной арифметической прогрессии, если ее первый член равен 7?

1) 3

2) 4

3) 5

4) 6

Решение.

Пусть первый член прогрессии a₁, а ее разность d. Используя формулу n⁠-⁠го члена прогрессии $a_n=a_1 плюс d левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка ,$ запишем:

$a_1 плюс a_2 плюс a_3=a_1 плюс a_1 плюс d плюс a_1 плюс 2d=3a_1 плюс 3d=21 плюс 3d.$

Поскольку сумма первых трех членов прогрессии равна 27, то

$21 плюс 3d=27 равносильно 3d=6 равносильно d=2.$

Аналогично запишем сумму трех последних членов прогрессии. Имеем:

$a_n минус 2 плюс a_n минус 1 плюс a_n=a_1 плюс d левая круглая скобка n минус 3 правая круглая скобка плюс a_1 плюс d левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс a_1 плюс d левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка =$
$=3a_1 плюс d левая круглая скобка 3n минус 6 правая круглая скобка =21 плюс 6n минус 12=9 плюс 6n.$ $a_n минус 2 плюс a_n минус 1 плюс a_n=$
$=a_1 плюс d левая круглая скобка n минус 3 правая круглая скобка плюс a_1 плюс d левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс a_1 плюс d левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка =$
$=3a_1 плюс d левая круглая скобка 3n минус 6 правая круглая скобка =21 плюс 6n минус 12=9 плюс 6n.$

Поскольку сумма последних трех членов прогрессии равна 45, то

$9 плюс 6n=45 равносильно 6n=36 равносильно n=6.$

Правильный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4

Аналоги к заданию № 8015: 8078 Все

Источник: Демонстрационная версия ЕНТ−2024 по математике. Вариант 1

РешениеСпрятать решение · Помощь

Тип 20 № 8078 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 9\.7\. Задачи на прогрессии

Прогрессии и последовательности. Задания для подготовки

Сумма первых четырех членов арифметической прогрессии равна 38, а сумма последних четырех членов данной прогрессии равна 62. Сколько членов в заданной арифметической прогрессии, если ее первый член равен 5?

1) 4

2) 5

3) 6

4) 7

Решение.

Пусть первый член прогрессии a₁, а ее разность d. Используя формулу n⁠-⁠го члена прогрессии $a_n = a_1 плюс d левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка ,$ запишем:

$a_1 плюс a_2 плюс a_3 плюс a_4 = a_1 плюс a_1 плюс d плюс a_1 плюс 2d плюс a_1 плюс 3d = 4a_1 плюс 6d = 20 плюс 6d.$ $a_1 плюс a_2 плюс a_3 плюс a_4 = a_1 плюс a_1 плюс d плюс a_1 плюс 2d плюс a_1 плюс 3d =$
$= 4a_1 плюс 6d = 20 плюс 6d.$

Поскольку сумма первых трех членов прогрессии равна 38, то

$20 плюс 6d = 38 равносильно 6d = 18 равносильно d = 3.$

Аналогично запишем сумму трех последних членов прогрессии. Имеем:

$a_n минус 3 плюс a_n минус 2 плюс a_n минус 1 плюс a_n = a_1 плюс d левая круглая скобка n минус 4 правая круглая скобка плюс a_1 плюс d левая круглая скобка n минус 3 правая круглая скобка плюс a_1 плюс d левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс a_1 плюс d левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка =$
$= 4a_1 плюс d левая круглая скобка 4n минус 10 правая круглая скобка = 20 плюс 12n минус 30 = 12n минус 10.$ $a_n минус 3 плюс a_n минус 2 плюс a_n минус 1 плюс a_n =$
$= a_1 плюс d левая круглая скобка n минус 4 правая круглая скобка плюс a_1 плюс d левая круглая скобка n минус 3 правая круглая скобка плюс a_1 плюс d левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс a_1 плюс d левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка =$
$= 4a_1 плюс d левая круглая скобка 4n минус 10 правая круглая скобка = 20 плюс 12n минус 30 = 12n минус 10.$

Поскольку сумма последних трех членов прогрессии равна 62, то

$12n минус 10 = 62 равносильно 12n = 72 равносильно n = 6.$

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

Аналоги к заданию № 8015: 8078 Все

РешениеСпрятать решение · Помощь

Наверх